来玩个游戏吧……

选择任意正整数。如果是奇数，则乘以3，加1。如果是偶数，则除以2。对得到的新数进行同样的处理，并继续这样做。如果你在某个时候得到了数字 1，那就停下来。

我知道这可能不是世界上最有趣的游戏，但请玩一会儿。我向你保证这会很有趣。

例如，如果我们从7开始，我们会得到如下序列（从现在开始，我们称之为Colac序列）。

• 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
li> ul>

如果我们从 19 开始，我们得到：

• 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

请注意，在某些时候，我们在上述两个序列中都有数字 22，因此它们“尾巴”也是一样。

问题是：我们总是以1结束吗？

信不信由你，上面的问题是一个很深的谜。尽管许多非常聪明的数学家付出了巨大的努力，但这个问题仍然没有得到解决。

这个问题叫做“科拉兹猜想”。

陷入混乱

但为什么这么难理解？毕竟，孩子会明白这个游戏的规则。它看起来非常简单。

通过对小数的Kolatz数列的初步观察，我们没有看到什么意外的情况，但是当我们到达的时候，比如数字27，对应的数列是111步，它之前达到了9232迅速下降到 1。

如果我们绘制 27 的 Colats 序列，我们将得到以下图表。



这个看起来有点随机，其实这个问题有点随机，哪个使其难以处理。我们稍后会讨论这个问题。

请注意，如果n是奇数，那么3n+1就是偶数，我们需要将它除以2，这样我们就可以将这两步合二为一，简单来说就是(3n+ 1)/2。

当我们把上面两个步骤结合起来时，我们将得到的序列称为简化的Kolatz序列。

考虑下面的函数。



这个函数会输出简化后的Kolatz序列中的下一个数字，当然，前提是z是一个整数。

但是这个函数，如果我们在复平面上定义它，就是一个完备的函数，也就是说我们可以给它输入任何复数，而且它是复可微的。

Mark Chamberlain 在实线上研究了这个函数的迭代，发现这导致了一个动态系统。他证明了这个猜想并不适用于所有正实数，因为有无限多个不动点和轨道。

您可以在下面看到相应的美丽的 Kolatz 分形。



这说明这些系列确实有一些内在的混乱。

众所周知，动态系统和分形源于混沌系统，例如天气。决定性的特征是系统对初始条件极其敏感。

对于我们的问题，这意味着考虑整数和实数之间存在巨大差异。即使我们可以通过实数序列任意逼近给定的整数，对应的柯拉兹序列也可能有很大的不同。这引起了混乱。

解决方案

那么，解决方案是什么样的？我们需要证明两件事。首先，我们需要证明所有序列都是有界的。换句话说，不存在无限的 Kolatz 序列。我所说的无限意味着序列中的数字集是无限的。其次，我们需要证明循环是不可能的。换句话说，在 Kolatz 序列中，我们永远不会遇到一个数字两次。如果我们从1开始，那么4、2、1的序列就会无限重复。

当然还有另一种解决方案。这个猜想可能是错误的。数学家试图验证，起始值大约是2^68。 1958年，波利亚猜想（波利亚猜想）改为约1.845×10^361被反例推翻，这比2^68的数字大很多。

实际上，这里可能会发生另一件事。数学家通常不谈论这个问题，因为这是一个非常可悲的想法。科拉茨猜想在我们的公理系统中可能是无法解决的，也就是说，无论我们怎么努力，也无法破解它。

不要被问题的美丽所迷惑

那么为什么这是一个危险的问题呢？

因为，当你试图解决一个数学问题而你不知道是否能解决它时，你花费了所有宝贵的时间，最后却一无所获。

时间是最宝贵的，它在数学中非常容易使用，尤其是当一个问题看起来很简单的时候。但实际上一点也不简单。这就像希腊神话中的塞壬。

希腊神话中的海妖原本是一群形似美女，实则是会吃人的野兽。他们坐在岸边，用迷人的声音唱歌。任何听到它们的人都会为它们着迷。然后塞壬会吃掉它们。

这个问题很像这样。它看起来如此美丽和简单，但在你意识到之前，你已经花费了多年的研究和精力，最终还是一无所获。