以牛顿刊发那本辉煌的《自然哲学的数学原理》为标志，科学在数学武装下变得空前强大，也给人类认知带来了最彻底的变革，从最磅礴的天体运行，到最微小的基本粒子，到最复杂的生命活动，无不依赖着种种数学工具才得以昭示，我们已经把应用数学的程度看作一门学科的“科学程度”——这几乎立刻引出了一个很重大的问题：数学本身是科学吗？

科学研究的尺度，注意右下的数学和逻辑不属于任何具体的尺度

迄今为止，这个问题通常会得到否定的回答：如果“科学”指的就是科学革命以来给人类带来的崭新认知的那种科学，那么数学不是科学。

为此，这种否定的回答还会澄清一些最基本的概念：我们通常说的自然科学，比如物理、化学、生物、天文，或者社会科学，比如人类学、社会学、历史学、宗教学，乃至医学、材料学、工程学这样的应用科学，都是经验科学——所谓“经验”是指可观察的事件，因此“经验科学”就是用不断用可观察的事件检验理论是否正确，这也是经验科学可靠性的来源。

波普尔《科学发现的逻辑》中提出了“可证伪性”，解释了当代科学最普遍的检验方法

当然这种“观察”也不局限于躯体感官的直接体验，Wifi信号看不见摸不着，只要打开手机就能看见有几格；引力浩大绵长，照样能用激光干涉器捕捉它的波动；中微子无影无踪，但是它撞上介质就能激发光电倍增管，化为示波器上的一个峰值。

引力波是有史以来最难观察的物理现象，我们需要分辨出0.7个原子那么微小的变化

但与之相反，数学结论是否成立并不依赖于任何观察，而只取决于逻辑推演是否正确，因为数学是形式化的逻辑，根本不关心形式究竟指代了什么。比如我们想知道圆周率的某次计算是否正确，绝不会找个圆来真的量一量，而是要检查这次计算是否有错；而且一旦确认计算正确，我们就会认为那些在精度上与之不符的圆不够圆——事实上，我们认为完美的圆只在数学中存在，在可观察的世界中并不存在。

我们曾经把米定义为巴黎子午线的千万分之一，但地球不够圆，我们最终放弃了这一做法

基于这样的思考，这个回答会说：数学不是经验科学，但如果需要强调数学与科学的密切关系，可以将它与逻辑学合称“形式科学”，亦即以抽象形式为认知对象的科学。

如此重大的数学哲学问题才不会这样简单就讨论完毕，但就算只从康德的“先天综合”开始讨论，都要写出一本骇人的巨著。所以本文将集中阐述我对这个问题的意见，而略去众多哲学家和数学家的论战，对于绝大多数读者来说，这都是松了一口气的好事。

我的意见是，数学同样是严格意义上的经验科学，但在展开我的论述之前，我们还得有些具体的铺垫。虽然对于那些具有相当数学修养的人来说，这些铺垫看起来老生常谈，乏善可陈，但是也请他们耐着性子读下去，因为最终的讨论并不常见。

那种认为数学与经验无关，而完全来自逻辑演绎的观点，无不强调一切数学证明都遵循了这样的模式：最初确定的只有少数几条公理，但公理的组合变化的关系也是确定的，我们于是能够根据公理得出一些确定的结论，如此递推下去，任何一个数学问题的答案也是确定的。

既然每一步都是确定的，那么数学就没有经验的成分，不但经验不会影响证明，连主体都不能影响证明，这个人证明还是那个人证明，甚至有没有人证明，结果都已经注定了——这种数学先于经验、先于主体的观念让古典时代以来的数学家和哲学家感到了强烈的神秘和神圣，从毕达哥拉斯直到康德概莫能外。

英国浪漫主义诗人威廉·布莱克描绘了上帝创造世界的经典方式——尺规作图

但是那种“注定的正确”实际上非常可疑，从数学公理到逻辑演绎，都存在同一个数学问题在不同的条件下有不同结论的反例