第12卷第2期2012年4月柳州职业技术学院学报JOURNALOFLIUZHOUVOCATIONAL&［理工农学研究］自异混交群体基因型熵中的数学命题陈奇（柳州职业技术学院，广西柳州）摘要：研究自异混交群体的基因型比例的逐代演变规律对确定选种的具体世代有指导意义。本文把这一演变规律归结为几个数学命题，并进行论证。关键词：熵；自交；异交；生物数学；基因中图分类号：Q347文献标志码：A文章编号：1671-1084（2012）02-0046-03Hardy-Weinberg定律是群体遗传学的基本定律，群体遗传学与数量遗传学的很多结论都是以它为出发点展开的[1，2]。但它只适合随机交配群体，因此它的适应范围有限。本文利用自交率进行研究，把结果归结为几个数学命题。文献[3]指出，当自异混交群体只有一对杂合基因Aa时，假设所有后代都能生存并产生等量后代，记Fn中的基因型比例为anAA∶bnAa∶anaa其中2an+bn=1；又设F1的基因型之比为0AA∶1Aa∶0aa，即a1=0，b1=1；再设群体内的自交率为p，则Fn的基因型之比为：bn=2(p)n+1-p（1）p(2-p)22-pFn中基因型AA与aa所占的比例均为an=1-bn=1-1(p)n24-2pp(2-p)2第n（n＞2）代的基因型熵为：S(n,p)=-2(1-1(p)n)ln（1-1(p)n）-（1-p+2(p)n）ln（1-p+2(p)n）4-2pp(2-p)24-2pp(2-p)22-pp(2-p)22-pp(2-p)2把S(n,p)连续化，得：S(x,p)=-2(1-1(p)x)ln（1-1(p)x）-（1-p+2(p)x）ln（1-p+2(p)x）4-2pp(2-p)24-2pp(2-p)22-pp(2-p)22-pp(2-p)2命题1在任何世代，limbn=1。+p→02证明：根据罗比达法则，（1）中固定n，对p求导数，有limbn=lim[p(p)n+1-p]+p→0+p→0p(2-p)22-p2(p)+p-p2[2(p)+p-p2]′nn=lim2（0型）=lim2p→0+2p-p20p→0（2p-p2）′+npn-1+1-2pn-1=lim2=1+p→02-2p2收稿日期：2011-11-24基金项目：2011年度广西教育厅科研立项项目（LX743）作者简介：陈奇（1955－），男，广西柳州人，柳州职业技术学院教授，研究生，研究方向：群体遗传。第12卷第2期陈奇：自异混交群体基因型熵中的数学命题47命题2当p＞1时，S(x,p)具有驻点x=lnp+ln(2p-1）-ln6；当p燮1时，S(x,p)没有驻点。2lnp-ln22证明：对S(x,p)求导数：1(p)xlnp]ln（1-1(p)x）S′(x,p)=-2[-p(2-p)224-2pp(2-p)2+1-1(p)x）1（-1(p)lnp）]x4-2pp(2-p)21-1(p)xp(2-p)224-2pp(2-p)2-[（2(p)xlnp）ln（1-p+2(p)x）p(2-p)222-pp(2-p)2+（1-p+2(p)）1（2(p)lnp）]xx2-pp(2-p)21-p-2(p)p(2-p)2x22-pp(2-p)2＝-2[-1(p)xlnp）ln（1-1(p)x）+（-1(p)xlnp）]p(2-p)224-2pp(2-p)2p(2-p)22-[（2(p)xlnp)ln（1-p+2(p)x）+2(p)xlnp）]p(2-p)222-pp(2-p)2p(2-p)22=（2(p)xlnp）[ln（1-1(p)x）-ln（1-p+2(p)x）]p(2-p)224-2pp(2-p)22-pp(2-p)2=（2(p)xlnp）[ln（p）-(p)x）-ln（p-p2+2(p)x）]p(2-p)令S′(x,p)=0，由于2(p)xlnp≠0，所以，p(2-p)22ln（p-(p)）-ln（p-p2+2(p)）=0xx222(p)=p(2p-1)x（2）26lnp(2p-1)x=6=lnp+ln(2p-1)-ln6lnplnp-ln22当p＞1时，S(x,p)具有驻点x=lnp+ln(2p-1)-ln6，记为x0。当p燮1时，由于2p-1燮0，ln(2p-1)没有意义，这2lnp-ln22时S(x,p)没有驻点。命题3当p＞1时，S(x,p)的极大值为S(x0,p)=ln3。2证明：在极大值点x0=lnp+ln(2p-1)-ln6处，从（2）式可以看出，(p)=p(2p-1)，代入S(x,p)，得：x0lnp-ln226S(x0,p)=-2（1-1p(2p-1)）ln（1-1p(2p-1)）4-2pp(2-p)64-2pp(2-p)6-（1-p+2p(2p-1)）ln（1-p+2p(2p-1)）2-pp(2-p)62-pp(2-p)6=-2（11-2p-11）ln（11-2p-11）-1（3-3p+2p-1））2-p22-p62-p22-p632-p2-p=-2（4-2p1）ln（4-2p1）-1··（1·）=ln31ln12-p62-p633命题4当p燮1时，S(x,p)逐代递增。2′证明：这时S(x,p)没有驻点，而Sx(x,p)＞0，故S(x,p)逐代递增。48柳州职业技术学院学报2012年4月命题5当p＞1时，p越接近1，S(x,p)达到最大熵的世代就越大，直至无穷大。22证明：当p→0.5时，2p-1→0，ln（2p-1）→-∞，而lnp-ln2＜0，所以++limx0=limlnp+ln(2p-1)-ln6=+∞p→0.5++p→证毕。参考文献：[1]解小莉，郭满才，张宏礼，等．两对等位基因群体熵的性质[J]．生物数学学报，2003,18(4)：482-486.[2]郭满才，解小莉，刘建军，等．复等位基因平衡群体熵的性质[J]．西北农林科技大学学报：自然科学版，2002,30(4)：119-122.[3]李大林，陈奇.基于自交率的基因型信息熵变规律与自花传粉机制的进化意义[J]．上海交通大学学报：农业科学版，2008(4)：588－PopulationCHENQi(LiuzhouVocational&TechnicalCollege,LiuzhouGuangxi,China)Abstract:Astudyresearchedthatevolutionlawbygenerationsinthegenotypeproportionofaselfingandinterbreedingpopulationsmayvaluatetheinsenceatrigour,:entropy;selfing;interbreeding;biomathematics;gene